Конспект урока по подготовке к математической олимпиаде. Решение логических задач.

Подготовке к математической олимпиаде

Методические рекомендации по подготовке к математическим олимпиадам:

В процессе подготовки к интеллектуальным математическим соревнованиям целесообразно использовать следующие стратегии обучения учащихся:

− ускорение – увеличение темпа (скорости) усвоения учебного материала;

− углубление – углубленное изучение соответствующих тем или предметов;

− обогащение – создание соответствующих условий, при которых ученик имеет возможность учиться с присущей ему скоростью, в своем ритме, самостоятельно выбирать учебный материал, выполнять самостоятельные исследования и творческие задания (как индивидуально, так и в группах);

− проблематизации – представление учебного материала таким образом, чтобы учащиеся могли самостоятельно выявить и решить проблему, найти способы ее практического решения.

Подготовку школьников к интеллектуальным математическим соревнованиям рекомендуется осуществлять, используя следующие продуктивные методы обучения:

– когнитивные (методы учебного познания) – методы эвристических вопросов, сравнения, эвристического наблюдения, фактов, исследования, конструирования понятий, конструирование правил, гипотез, прогнозирование ошибок, конструирование теорий;

– креативные (методы ориентированы на создание учащимися собственных образовательных продуктов) – сочинения, агглютинации, синектики, морфологического ящика, инверсии;

– организационно-деятельные (связанные с конструированием собственной образовательной деятельности) – учебного целеполагания, ученического планирования (собственной образовательной траектории), самоорганизации обучения (работа с научно-популярной литературой, справочной литературой, взаимообучения, контроля, рефлексии, самооценки.

В процессе подготовки к интеллектуальным математическим соревнованиям рекомендуется ознакомить учащихся с:

– методами решения задач повышенной сложности, непосредственно связанными с содержанием школьной программы (нестандартные уравнения, системы уравнений, неравенства, построение графиков функций, изображение на координатной плоскости множеств, определенных определенными условиями, тригонометрические задачи и т.п.);

– специальными методами и приемами решения нестандартных задач (для соответствующих возрастов);

– нестандартными подходами, позволяющими решать сложные и нестандартные задачи со значительной эвристической нагрузкой,

– дополнительными теоретическими знаниями, предусмотренными программами математических кружков, курсов по выбору и факультативных курсов, которые расширяют и углубляют знания по математике.

Целесообразно проработать такие разделы математики, как теория множеств, математическая логика, комбинаторика, теория вероятностей, теория графов.

Конспект урока по подготовке к математической олимпиаде

Решение логических задач

Учитель: Мамутова Нияра Диляверовна

Тема урока: Решение логических задач

Цель урока:

формировать познавательный интерес к изучению математики;

развивать у учащихся смекалку, внимание, любознательность, умение находить выход в сложных и нестандартных ситуациях;

развивать логическое мышление, математическую культуру учащихся; воспитывать настойчивость в достижении цели, чувства ответственности, взаимоуважения, дружелюбия.

подготовка к олимпиаде по математике

Чтобы научиться решать логические задачи, простые и нестандартные математические задачи, важно знать основные приемы и методы их решения. Ведь решить одну и ту же задачу и прийти к правильному ответу во многих случаях можно разными способами.

Знание и понимание различных методов решения поможет определить, какой способ подойдет лучше в каждом конкретном случае, чтобы выбрать самый быстрый и простой путь получения ответа.

К «классическим» логическим задачам относятся текстовые задачи, цель решения которых состоит в распознавании объектов или расположении их в определенном порядке в соответствии с заданными условиями.

Более сложными и интересными типами задач являются задачи, в которых отдельные утверждения истинны, а другие ложны. Задачи на перемещение, переложение, взвешивание, переливание – самые яркие примеры широкого ряда нестандартных задач на логику.

Основные методы решения логических задач:

метод рассуждений;

с помощью таблиц истинности;

метод блок-схем;

средствами алгебры логики (алгебры высказываний);

графический (в частности, «дерево логических условий», метод кругов Эйлера);

метод математического більярда

Метод последовательных рассуждений

Простейший способ решения несложных задач состоит в последовательных рассуждениях с использованием всех известных условий. Выводы из утверждений, являющихся условиями задачи, постепенно приводят к ответу на заданный вопрос.

Метод «с конца»

Такой способ решения является разновидностью метода рассуждений и прекрасно подходит для задач, в которых нам известен результат совершения определенных действий, а вопрос заключается в восстановлении первоначальной картины.

Пример:

Бабушка испекла для трех внуков рогалики и оставила их на столе. Коля забежал перекусить первым. Считал все рогалики, взял свою долю и сбежал.

Анечка зашла в дом позже. Она не знала, что Коля уже взял рогалики, сосчитала их и, разделив на троих, взяла свою долю.

Третьим пришел Гена, который тоже разделил остаток выпечки на троих и взял свою долю.

На столе осталось 8 рогаликов.

Сколько рогаликов из оставшихся восьми должен съесть каждый, чтобы в итоге все съели поровну?

Решение:

Начинаем размышления «с конца».

Гена оставил для Анечки и Николая 8 рогаликов (каждому по 4). Выходит, и сам он съел 4 рогалика: 8 + 4 = 12.

Анечка оставила для братьев 12 рогаликов (каждому по 6). Значит, и сама она съела 6 штук: 12+6=18.

Коля оставил детям 18 рогаликов. Значит, сам съел 9:18+9=27.

Бабушка положила на стол 27 рогаликов, рассчитывая, что каждому достанется по 9 штук. Поскольку Коля уже съел свою долю, Анна должна съесть 3, а Гена — 5 рогаликов.

Решение логических задач с помощью таблиц истинности

Суть метода состоит в фиксации условий задачи и полученных результатов рассуждений в специально составленных под задачу таблицах. В зависимости от того, истинное высказывание или ложное, соответствующие элементы таблицы заполняются знаками "+" и "-" или "1" и "0".

Пример:

Три спортсмена (красный, синий и зеленый) играли в баскетбол.

Когда мяч оказался в корзине, красный выкрикнул: «Мяч забросил синий».

Синий возразил: "Мяч забросил зеленый".

Зеленый сказал: "Я не забрасывал".

Кто забросил мяч, если только один из троих сказал ложь?

Решение:

Сначала составляют таблицу: слева записывают все содержащиеся в условии утверждения, а сверху — возможные варианты ответа.

Затем таблицу последовательно заполняют: правильные утверждения отмечают знаком "+", а ошибочные - знаком "-".

Рассмотрим первый вариант ответа («мяч забросил красный»), проанализируем утверждения, записанные слева, и заполним первый столбик.

Исходя из нашего предположения («мяч забросил красный»), утверждение «мяч забросил синий» — ошибочно. Ставим в ячейке "-".

Утверждение «мяч забросил зеленый» тоже ошибочно. Заполняем ячейку знаком «-».

Утверждение зеленого «Я не забрасывал» – истина. Ставим в ячейке "+".

Рассмотрим второй вариант ответа (предположим, мяч забросил зеленый) и заполним второй столбик.

Утверждение «мяч забросил синий» — ошибочно. Ставим в ячейке "-".

Утверждение «мяч забросил зеленый» – истина. Заполняем ячейку знаком «+».

Утверждение зеленого «Я не забрасывал» – ложь. Ставим в ячейке "-".

И, наконец, третий вариант: предположим, что мяч забросил синий.

Тогда утверждение «мяч забросил синий» – истина. Ставим в ячейке "+".

Утверждение «мяч забросил зеленый» — ложь. Заполняем ячейку знаком «-». Утверждение зеленого «Я не забрасывал» – истина. Ставим в ячейке "+".

Поскольку по условию только один из трех ребят сказал неправду, в заполненной таблице выбираем такой вариант ответа, где будет только одно ложное утверждение (в столбце один знак «-»). Подходит третий столбик.

Значит, правильный ответ – мяч забросил синий.

Алгоритм конструирования логической функции по ее таблице истинности:

1. Выделить в таблице истинности те строчки, в которых значение функции равно 1.

2. Записать искомую формулу в виде дизъюнкции нескольких скобок. Число этих скобок равно числу выделенных строк.

3. Каждую скобку в этой дизъюнкции записать посредством конъюнкции аргументов функции.

4. Если значение какого-либо аргумента функции в соответствующей строке таблицы равно 0, то этот аргумент взять с отрицанием.

Пример:

Дана таблица истинности для некоторой логической функции Z(X, Y):

Рассмотрим строки, где значение истинности функции Z истинно (Z=1). Функцию для этой таблицы истинности можно составить следующим образом:

Z(X, Y) = ( X /\ Y) \/ ( X /\ Y ).

Каждой строке, где функция истинна (равна 1), соответствует скобка, которая является конъюнкцией аргументов, причем если значение аргумента 0, то его следует использовать с возражением. Все скобки соединены между собой операцией дизъюнкции.

Задача

В соревнованиях по гимнастике участвовали Алла, Валя, Тамара и Дарья. Болельщики выразили предположение о возможных победителях:

1-й болельщик: «Первой будет Тамара, второй – Валя»

2-й болельщик: «Второй будет Тамара, третьей – Дарья»

3-й болельщик: «Второй будет Алла, четвертой – Дарья»

По окончании соревнований оказалось, что в каждом предположении только одно из высказываний истинно, а второе – ложное. Какое место на соревнованиях заняла каждая девушка?

Решение:

Обозначим высказывания:

Т1 – Тамара будет первой. Соответственно Т1 – Тамара не будет первой

В2 – Валя будет второй. В2 – Валя не будет второй

Т2 – Тамара будет второй. Т2 – Тамара не будет второй

Д3 – Дарья будет третьей. Д3 – Дарья не будет третьей

А2 – Алла будет второй. А2 – Алла не будет второй

Д4 – Дарья будет четвертой. Д4 – Дарья не будет четвертой

Зная результаты соревнований, утверждение 1-го болельщика можно перефразировать так: «Тамара будет первой, но Валя не будет второй или Тамара не будет первой, но Валя будет второй». В таком составленном высказывании одна из двух сложенных частей обязательно будет истинной, потому и все высказывание – истинное. На основе таких рассуждений составим логические выражения, описывающие истинность утверждений каждого болельщика:

Утверждения всех трех болельщиков оправдались одновременно, поэтому истинным будет высказывание:

Кроме того, одновременно не могут быть истинными высказывания «Тамара будет первой» и «Тамара будет второй», «Да будет третьей» и «Да будет четвертой», «Валя будет второй», «Тамара будет второй» и "Алла будет второй". Это можно описать следующими логическими выражениями:

Т1/\Т2=0, Д3/\Д4=0, В2/\Т2=0, В2/\А2=0, Т2/\А2=0. (5-9)

Упростим последовательно логическое выражение (4), опираясь на выражения (5-9). Сначала выполним конъюнкцию выражений (1) и (2):

Выполним конъюнкцию полученного выражения и выражения (3) и упростим, опираясь на выражения (5-9):

Полученное выражение означает следующее распределение мест на соревнованиях: Тамара – первое место, Алла – второе место, Дарья – третье, Валя – четвертое.

Метод блок-схем

Метод блок-схем считается оптимальным вариантом для решения задач на взвешивание и переливание жидкостей. Альтернативный способ решения этого типа задач — метод перебора вариантов — не всегда оптимален, да и назвать его системным довольно сложно.

Порядок решения задач по методу блок-схем выглядит следующим образом:

графически (с помощью блок-схемы) описываем последовательность выполнения операций;

определяем порядок их выполнения;

в таблице фиксируем текущие состояния.

Графический метод решения логических задач

Задача

В соревнованиях по гимнастике участвовали Алла, Валя, Тамара и Дарья. Болельщики выразили предположение о возможных победителях:

1-й болельщик: «Первой будет Тамара, второй – Валя»

2-й болельщик: «Второй будет Тамара, третьей – Дарья»

3-й болельщик: «Второй будет Алла, четвертой – Дарья»

По окончании соревнований оказалось, что в каждом предположении только одно из высказываний истинно, а второе – ложное. Какое место на соревнованиях заняла каждая девушка?

Решение:

Обозначим высказывания:

Т1 – Тамара будет первой. Соответственно Т1 – Тамара не будет первой

В2 – Валя будет второй. В2 – Валя не будет второй

Т2 – Тамара будет второй. Т2 – Тамара не будет второй

Д3 – Дарья будет третьей. Д3 – Дарья не будет третьей

А2 – Алла будет второй. А2 – Алла не будет второй

Д4 – Дарья будет четвертой. Д4 – Дарья не будет четвертой

Построим двоичное дерево, каждая из которых будет соответствовать одному из возможных вариантов.

Анализируя каждую ветвь, отсекаем те, на которых присутствуют противоречащие друг другу выражения:

- на ветвях 1 и 2 это выражения Т2 и Т1

- на ветке 4 – выражения Д3 и Д4

- на ветвях 5 и 6 – выражения В2 и Т2

- на ветке 7 – выражения В2 и А2

- на ветке 8 – выражения Д3 и Д4

Единственная ветвь, не содержащая противоречивые выражения – это ветвь 3. Полученное выражение означает такое распределение мест на соревнованиях: Тамара – первое место, Алла – второе место, Дарья – третье, Валя – четвертое.